Главная • О сайте • О математиках • О математикеФилдсовская премияФорум
Школьникам: Занимательная математика • Логические задачи
Студентам: Высшая алгебраВекторная алгебраАналитическая геометрияЧисленные методы
 

Скалярное произведение векторов

Автор: Ильдар Насибуллаев

Комментарий. Для обозначения векторов используется полужирный шрифт, а для обозначения скаляров - простой. Скаляр, обозначающий длину вектора обозначается через знак модуля (||). Например, вектор a имеет модуль (длину) равную |a|, а если этот вектор умножить на скаляр λ, то получим вектор λa.

Определение скалярного произведения векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число (скаляр), равный произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними. Скалярное произведение можно обозначать различными способами, например, как ab, a · b, (a , b), (a · b). Таким образом, скалярное произведение равно:

a · b = |a| · |b| · cos φ

Если хотя бы один из векторов равен нулю, то скалярное произведение равно нулю.

Свойства скалярного произведения

Типовые задачи

Задача 1: угол между векторами a и b составляет φ=2π/3, а их модули равны |a|=2 и |b|=3. Вычислить (5a + 3b) · (3a - 2b).

Решение: (5a + 3b) · (3a - 2b) = 15a2 - ab - 6b2 = 60 - 3 - 54 = 3. Здесь использовано то, что a2 = |a|2 = 22 = 4, b2 = |b|2 = 32 = 9, ab = |a|·|b|·cos(φ) = 2·3·cos(2π/3) = 3.

Ответ: (5a + 3b) · (3a - 2b) = 3.

Задача 2: даны вершины треугольника A(1,2,3), B(3,4,4), C(4,8,1). Определить угол между сторонами AB и AC.

Решение: косинус угла между векторами b и c равен cosφ = b · c / (|b|·|c|). Найдем вектора через соответствующие вершины треугольника: b = AB = {3-1, 4-2, 4-3} = {2, 2, 1} и c = AC = {4-1, 8 - 2, 1 - 3} = {3, 6, -2}. Модули векторов равны |b| = (22+22+12)1/2 = 3 и |c| = (23+32+(-2)2)1/2 = 7. Скалярное произведение равно: b · c = 2·3+2·6+1·(-2)=16. Подставляя в формулу для косинуса угла получим cosφ = 16/21, следовательно φ = arccos(16/21).

Ответ: φ = arccos(16/21).

2007 (c) Ильдар Насибуллаев. Все права защищены. «Математика, доступная для всех» является частью «Научно-образовательного портала».
Перепечатка материалов возможна в объеме не более 5 страниц с указанием гипертекстовой ссылки на источник http://math.originweb.info/ и автора статьи.
Время создания страницы 0.0003 сек.