Главная • О сайте • О математиках • О математикеФилдсовская премияФорум
Школьникам: Занимательная математика • Логические задачи
Студентам: Высшая алгебраВекторная алгебраАналитическая геометрияЧисленные методы
 

Вторая половина XX века: непомерная формализация математик

Когда я в юности читал работы 20-30-х гг. по теории множеств, я обращал внимание на то, что несмотря на абстрактность предмета эти работы написаны ясно и прозрачно. Вам хотят объяснить свою мысль и как можно проще. Этот предмет очень абстрактен, но о формализации речи не идет. Изучая топологию в 50-е гг. я видел, что лучшие из книг и статей знаменитых топологов, по которым я учился (Зейферт-Трельфаль, Лефшец, Морс, Уитни, Ионтряпш, Серр, Том, Борель, Милнор, Адаме, Атья, Хирцебрух, Смейл и др.), были написаны очень ясно. Сам предмет не был прост, но запутывать Вас никто не хотел. Излагали предмет так просто, как только это возможно, чтобы помочь Вам понять и освоить. Но уже начали появляться и другие источники - например, еще в ранней юности я увидел, что в монографии моего учителя М.М.Постникова, где излагались его лучшие работы, содержание обросло ненужной формализацией, затрудняющей понимание. С течением времени количество текстов такого рода возрастало. Этот процесс шел особенно быстро там, где было много алгебры, много теории категорий. Формализация алгебраической геометрии вследствие этого шла быстрее. Топология еще держалась до конца 60-х гг., когда алгебра и алгебраическая геометрия уже были затоплены этим стилем. Затем, уже в 70-е гг. сдалась и топология. Впрочем, это совпало с периодом ее сильного падения, с потерей ориентации на общематематические контакты.

Формальный язык непрозрачен, он всегда является узкопрофильным, он защищает Вашу область от понимания ее соседями, от видимого всеми взаимного влияния идей. Если Вам удалось позаимствовать идеи из соседней области, Вы можете заформализовать их так, что первоисточник не будет виден. Так или иначе, почему-то имеется много математиков, заинтересованных в развитии формального языка, разделяющего даже очень близкие разделы до непонятности. В чем тут дело? Возможно, имеется много желающих быть, как говорят, «первыми в своей деревне», закрыв занавески от соседей, - хотя, вероятно, это не единственная причина того, что формальный язык стал так нравиться обширному сообществу математиков. У меня нет полного понимания природы этого процесса, его движущей силы, причины его широкого общественного успеха. Мне кажется, это - болезнь, сопровождающая одностороннюю непомерно раздутую алгебраизацию: ее нужно проводить было бы осторожно и сбалансированно, не хороня под ней суть дела, чтобы она была полезной, и это сделать нелегко. Здесь мой подход сильно отличался от Манина: в ряде случаев он действовал в новых разделах математической физики как идеолог, внедряющий алгебраизацию в стиле Дьедонне, искусственно затрудняющую понимание. Например, в 70-е гг. я стал вести активную деятельность на мехмате МГУ, пропагандируя различные начала теоретической физики. Я убедился в том, что простое естественное изложение элементов идет с большим трудом: способная аудитория чистых математиков мехмата не хочет видеть даже несложных конкретных формул классического типа. Поэтому объяснить начала, например, общей теории относительности или электродинамики, вообще - элементарной теории поля, было очень трудно: моих студентов, обязанных слушать, я принуждал пройти какие-то азы и привыкнуть. После этого дело шло легче; остальные же нередко уходили, не дослушав начал. Лишь единицы сумели пройти и понять. Я интересовался опытом коллег и узнал, что Мании подходил иначе. Он сообщал аудитории что-то сверхформальное и затем говорил, что они теперь узнали, что такое, например, уравнение Дирака. Общественный успех был бесспорный - у них глаза горели, но я не захотел идти таким путем: как показал опыт, узнать, что такое уравнение Дирака на самом деле, этим людям после та­кого начала будет во много раз трудней. Известен ряд успехов тео­рии солитонов середины 70-х гг., в которых мне довелось участвовать с самого начала в роли инициатора и затем развивать их вместе с моими лучшими учениками (особенно Дубровиным и Кричсвером). Тогда современная математическая физика впервые стала использовать методы алгебраической геометрии - были построены алгебро-геометрические (периодические) решения KdVи его аналогов. Манин написал вскоре очень формализованные учебно-обзорные статьи на эту тему. Многие молодые математики, склонные к алгебре, охотно читали именно их. Статьи и книги тех, кто создал эти области, были написаны простым общепонятным языком, целью которых было всего лишь прозрачное изложение предмета, использующего нетрадиционную для приложений математику, чтобы можно было ее изучить и пользоваться. Однако склонной к алгебре молодежи они кажутся трудными, чужими. Четких критериев - что нужно, что есть суть дела - у нее нет. Формализованные тексты, где суть дела не обсуждается, нравятся - они их читают как тексты из своей области, абстрактной алгебры. На самом деле из этих текстов они ничего не узнают, как я считаю, хотя будут думать, что все полезное освоили. Пожалуй, это относится ко всей математической молодежи, не прошедшей азов современной математической физики-. Бурбакистские тексты по математической физике - нелепость двойная, они затрудняют и проникновение физиков в эти методы, создавая у них иллюзию сверхсложности и недоступности этих разделов математики, которые они ранее никогда не изучали. Да и Манин, как я заметил позднее, писал несравнимо прозрачнее, когда считал, что он сам что-то существенное сделал и хотел, чтобы это поняли и физики, так что я не знаю, сохранил ли он приверженность к формализации. Однако тогда подобные взгляды некоторых авторитетных ученых способствовали распространению этой болезни.

Казалось бы, наша область науки - современная математика - на первый взгляд, облегчить изучение, делая изложение как мож­но более прозрачным. Ведь формализация языка науки, осуществленная в бурбакистском стиле, - это не полезная формализация Гильберта, упрощающая понимание. Это - паразитная формализация, усложняющая понимание, мешающая единству математики и ее единству с приложениями. Я полагаю, что ультраформализованная литература возникла, в частности, потому, что можно было предвидеть ее успех у широкого слоя алгебраически ориентированных чистых математиков.

Надо идти против течения, чтобы бороться за сохранение прозрачного общенаучного стиля, который может сохранять един­ство математики, объединить математику с физикой, с приложениями. Это - лишь для очень немногих математиков сейчас. Сегодняшнее сообщество не поймет. Более того, оно не хочет слушать голосов, предупреждающих о необходимости преодолевать какие-то барьеры, если рядом появляются авторитетные люди, говорящие, что ничего этого им не надо.

«Дайте им то, чего они хотят; ни к чему другому они не способны» - к такой оптимальной стратегии ведет демократическая эволюция абстрактной науки и образования, когда людям неизве­стно, есть ли какая-нибудь цель их исследований, и они отказыва­ются этот вопрос обсуждать. Все критерии легко смещаются, если нет цели, которую нужно достигнуть. Общественный успех остается единственным критерием.

Однако я замечу, что тем немногим, кто мог бы преодолеть барьер, бурбакистская литература сильно мешает найти правильный путь, дезинформирует их в сегодняшнем хаосе. Бесполезная всеусложняющая алгебраическая формализация языка математики, экранирующая суть дела и связи между областями, - это слишком широко распространившаяся болезнь, даже если я привел и не самые лучшие примеры, это - проявление кризиса, ведущего к определенной бессмысленности функционирования абстрактной математики, превращения ее в организм, потерявший единый разум, где органы дергаются без связи друг с другом. Как говорится, чтобы остановить построение вавилонской башни, Бог рассеял языки, и люди перестали понимать друг друга. Строительство остановилось.

Излишне усложненный формальный абстрактный язык захватил не только алгебру, геометрию и топологию, но также и значительную часть теории вероятностей, и функциональный анализ. Анализ, дифференциальные уравнения, динамические системы оказались несколько менее ему подвержены. Здесь еще в 50-60-е гг. было сделано несколько хороших вещей, которые впоследствии широко распространились и стали общеполезны. Но другие нелепости захватили все это сообщество: математики - специалисты в этих областях - продолжают до сего дня программу, признающую лишь стопроцентно строгие теоремы, длина которых стала зачастую немыслимой. Очень малый процент их потратил труд на самообучение и научился вступать в контакт с миром естественных наук, где ведутся конкретные исследования, без заботы о математической строгости. Но и те математики, кто вступает в подобные контакты, преследуют, как правило, одну цель: узнать какие-нибудь результаты физиков или инженеров, которые можно начать строго обосновывать. Это и называется «анализом», «прикладной математикой», «математической физикой».

Строгомания постепенно превратилась в мифологию и веру, где много самообмана: спросите, кто читает эти доказательства, если они достаточно сложны? За последние годы выявилось много случаев, где решения ряда знаменитых математических проблем топологии, динамических систем, различных ветвей алгебры и анализа, как выяснилось, не проверялись никем очень много лет. Потом оказалось, что доказательство неполно (см. мою статью в томе журнала GAFA 2000, посвященного конференции «Vision in Mathematics - 2000», Tel Aviv, August 1999). При этом отнюдь не во всех случаях пробелы могут сейчас быть устранены. Если никто не читает «знаменитых» работ, то как же обстоит дело со сложными доказательствами в более заурядных работах? Ясно, что их в большинстве просто никто не читает. Я могу понять, что решенные в тот же период проблемы Ферма и четырех красок стоят и длинного доказательства, и их проверят. Но постоянно жить в мире сверхдлинных доказательств, никем не читаемых, просто нелепо. Это - дорога в никуда, нелепый конец программы Гильберта.

Следует обратить внимание еще на одну сторону дела, когда обсуждается ценность строгих математических обоснований. В естественных науках строгая математика требует такого уточнения модели, которое уводит от реальности гораздо дальше, чем нестрогость физика, и тем самым приводит к общенаучно менее строго обоснованному результату. Это еще один аргумент, кроме потери контроля за доказательствами. Наверное, сам Гильберт давно бы уже сказал, что этим нецелесообразно больше заниматься.

Наличие кризиса сообщества математиков с его системой обра­зования и подходом к науке надо отделять от вопроса: есть ли кризис математики как науки? Может быть, кризиса и нет, просто лучшие работы в ряде областей стали делать другие люди, выходцы из физики?

В 70-80-е гг. довольно значительные коллективы физиков-теоретиков, включая прикладных физиков, по существу, стали математиками. Они много сделали для развития современной математи­ки, дали ей большой импульс. Я назову несколько таких волн.

1. Завоевание вычислительной математики физиками. Этот естественный процесс шел долго. Каждому ясно теперь, что физик будет лучше считать задачи, суть дела которых он понимает, в отличие от вычислителя-математика.

2. Освоение физиками некоторых основных теоретико-множественных идей теории динамических систем, созданных в основном еще до 60-х гг., но ставших сейчас общим достоянием. Развитие компьютерно-базированного творчества на этой основе.

3. Фундаментальная роль физиков в создании такого цикла идейно богатых новых разделов математики, как теория классических и квантовых точно решаемых систем: теория солитонов и вполне интегрируемых гамильтоиовых систем, точно решаемые модели статистической физики и квантовой теории поля, матричные модели, конформные теории, суперсимметрия и точно решаемые модели калиброванных полей.

4. Приход квантовых физиков (как считают, временный) в такие разделы, как алгебраическая геометрия и топология, вызванный остановкой в развитии физики фундаментальных взаимодействий. Совместный вклад физиков и математиков в эти области за последние 20 лет очень велик. Если будет подтверждена суперсимметрия в реальном мире элементарных частиц или что-то подобное, часть этих людей сразу уйдет обратно в реальную физику, как онисчитают.

5. Приход большой волны квантовых физиков в проблемы математически строгих обоснований физических результатов.

Любопытно, что эта волна, называющая только себя «математическими физиками», отдельна от тех, где развивается топология или точно решаются модели. Сюда входят люди, глубоко поверившие в идеально строгий подход, в программу Гильберта. Идеологически эти волны сильно расходятся, те - делая нестрого чистую математику, называют себя «физиками»-, эти - доказывая теоремы, называют себя «математическими физиками». Эта волна является развитием того, что математики называют «анализом». Безусловно, богатство принесенных ими в математику знаний ставит этих людей выше в моих глазах, чем сложившийся до них «анализ» чистых математиков, не знавших современной физики.

Но все равно - я духовно не с ними, а с темп, другими, хотя скажу откровенно о своей личной научной программе: я потратил многие годы на изучение теоретической физики для того, чтобы искать новые ситуации, где топологические идеи могут быть полезны в приложениях и естественных науках. Новая топология, создаваемая физиками, — это замечательная вещь, но я достаточно изучил теоретическую физику, чтобы знать, что это - не раздел физики; пусть в это верят те, кто ничего не изучал. Физика - это наука о явлениях природы, которые могут реально наблюдаться. Платоновская физика - это набор стоящих за ними идеальных понятий. Большая группа талантливых физиков-теоретиков увлеклась платоновской физикой и незаметно отошла от реальности очень далеко. В последней четверти XX в. их вера в то, что реальная физика будет, следуя опыту последних 75 лет, подтягиваться и подтверждать наиболее красивые теории, перестала оправдываться. Застряло на 25-30 лет, например, подтверждение суперсимметрии в физике элементарных частиц. Его пока нет, хотя гипотеза суперсимметрии сильно улучшает математическую теорию. Квантовая гравитация и все ее проявления - струны и т.д. - безумно далеки от возможности подтверждения. В то же время эти теории оказались столь красивы математически, что они породили немало результатов и идей в чистой математике. Уход из реальной физики такого талантливого сообщества теоретиков оголяет физику, лишает ее слоя, способного соединять реализм физики с высокой современной математикой.

В самой реальной физике ряд областей стал ориентироваться сейчас не на познание законов природы, на инженерного типа разработки все больше и больше. Мне кажется, такая тенденция имеется и в реалистически мыслящей части математики. Само по себе это не так уж и плохо. Каждому времени характерны свои цели и задачи. Было бы важно сделать совокупность достижений математики XX в. тоже максимально доступной, как можно более компьютеризованной - включая и классическую алгебраическую топологию: это помогло бы возродить нормальное изложение, прекратить представление этой замечательной области в виде абстрактной бессмыслицы, которую даже сами математики перестали понимать и не могут поэтому с ней работать.

Говоря о современных инженерно-ориентированных направлениях, я хотел бы указать, что жажда общества породить здесь ус­пех ведет к возникновению любопытных общественных феноменов. Что такое «квантовые компьютеры»? Возможность развить теорию квантового аналога процесса вычислений сама по себе интересна как раздел абстрактной математической логики квантовых систем. Когда же мы говорим о создании компьютера, возникает первый вопрос: можно ли указать какую-либо возможную физическую реализацию, чтобы грубо оценить числовые параметры для границ, преодоление которых было бы необходимо для реализации, для оценки возможностей, скорости. Без этого подобный объект существует только в платоновской физике. Об этом пока можно только писать романы наподобие Жюль Верна. Высокопарный разговор о всесилии технологии будущего неконкретен: оставим будущее будущим людям; пока мы просто ничего не знаем. Никто не знает, можно ли реально построить достаточно большую полностью когерентную квантовую систему, способную реализовать классически управляемые квантовые процессы по заданному довольно сложному алгоритму. Физику таких процессов надо долго изучать. А если и окажется, что можно, то будет ли основанная на этом модель вычисления работать лучше обычной в реальном мире? Не увлекайтесь сравнением числа шагов - они здесь не те, что в обычных машинах Тьюринга и Поста. Инженерной идеи пока не видно, как и физической. Есть только абстрактная квантовая логика. Машины Поста и Тьюринга создавались одновременно с реальными компьютерами; это не то, что квантовые компьютеры, которых нет. В такой ситуации мне непонятны восторги по поводу уже якобы решенных с помощью квантовых компьютеров проблем типа расшифровки кодов, нужных как частным фирмам, так и структурам типа КГБ, ЦРУ и т.д. Боюсь, КГБ-подобным организациям, придется подождать. Возможно, здесь действует логика рекламы: «Почему не устроить шум и не получить у них деньги на исследования? У них много денег, они платили и экстрасенсам». Во всяком случае, гениев типа Ферми, предложившего проект создания атомной бомбы, который мог бы поддержать и Эйнштейн, здесь пока не видно. Без гениев такие вещи не создаются, люди совсем об этом забыли. А вот возникновение шума без серьезной основы стало нормой в сообществе конца XX в.

Впрочем, скажу откровенно, что мне эта теория нравится. Возникший здесь шум может быть полезен, заставляя математиков на­конец-то выучить квантовую механику. Да и денег сейчас, действительно, без шума не достанешь. Так что остается лишь пожелать здесь хоть какого-нибудь успеха.

Совсем нелепые антинаучные фантомы возникли недавно. Они произвели (и производят) большой шум. Один из этих фантомов - это история так называемых «библейских кодов»: с помощью компьютеров некоторые профессора математики «доказали», что Биб­лия написана не человеком. Глубоко веря в святость Библии, я позволю себе твердо стоять на той точке зрения, Что каждая математическая работа, чистая или прикладная, должна проверяться и анализироваться математически, независимо от ее темы. Второй фантом, также произведенный чистыми математиками - это псевдоистория Фоменко, созданная в Московском университете. Здесь всемирная и русская история древности и средних веков были «опровергнуты» также средствами прикладной математической статис­тики. Общими чертами этих историй являются:

1. Принадлежность авторов к кругу уважаемых математиков.

2. Поддержка их работ целым рядом авторитетных математиков.

3. Некомпетентность в прикладной математике. В обоих случаях ошибки абсолютно стандартны.

Несомненно, эти фантомы нанесли и нанесут большой ущерб профессии математика, репутации самой математики в современном обществе. Эти фантомы и им подобные - показатели глубокого кризиса математики, ее высшего слоя, глубокое общественное непонимание взаимодействия прикладной математики с реальным миром, непонимание таящихся здесь опасностей.

Раньше, еще в юности, я усвоил от старших такую точку зрения: деятельность в чистой науке не избавляет ученого от общественного долга перед наукой; напротив, будучи материально и политически независимыми, ведущие математики должны защищать ценности науки от новоявленных аналогов Лысенко, всяких сумасшедших и безграмотных. Защита ценностей науки - их обязаннность перед обществом. Прикладники слишком утонули в материальных проблемах. Если верховный слой математиков не может этого делать - грош ему цена. Слава Богу, западные математики (включая людей религиозных) наконец-то выступили по поводу компьютерных теорем о библейских кодах. В России же я пока не псевдо-математико-исторической чуши. Впрочем, и на западе упомянутую защиту организовали ученые старшего поколения, Б.Саймон и Ш.Штернберг, тесно связанные с идеологией математической и теоретической физики.

У физиков, пришедших заниматься чистой математикой, возникло естественное пожелание обучить математиков квантовой теории поля. Виттен устроил что-то вроде «курсов» в Принстоне, продолжавшихся, кажется, около года. Прекрасная цель, я тоже пытался это сделать когда-то и даже обучил чему-то несколько своих учеников - об этом уже упомянуто выше. Видимо, несколько человек благодаря Виттену сейчас что-то освоили. Один мой старый друг, Д.Каждан, очень хороший математик, всего на несколько лет младше меня, освоил, в частности, начала теории поля. Они ему так понравились, что он стал их пропагандировать и дальше; читал несколько лекций и у нас, в Мэриленде. Правда, ои читал лекции на формализованном «гарвардском» языке, к сожалению. Это, безусловно, сильно затрудняло понимание более широкому кругу математиков, но дело не только в этом. Мой друг еще в юности обладал необыкновенной способностью выучивать сложные вещи, смог он выучиться и сейчас, в пожилом возрасте. Я полагаю, еще пара первоклассных математиков старшего поколения что-то выучила вместе с ним. А где же математическая моло­дежь? Было бы хорошо, если бы основы теории поля вплоть до квантовой теории были освоены математиками. Не пора ли кончить брать даже в топологии результаты, нестрого полученные физиками, и их строго доказывать? Самим пора освоить тот комплекс идей, который позволяет угадать результат. Делать это на формализованном языке безнадежно. Надо принять этот новый анализ, созданный физикой второй половины XX в. и пока еще нестрогий, в принципе, таким, каков он есть. Хорошо бы создать прозрачные упрощенные учебники с ориентацией больше на математиков, но надо согласиться с неформализованным изложением. Нужных учебников пока нет, да и учить нужно более широкому курсу, чем теория поля. Как это сделать? Годится ли для этого современное западное образование?



2007 (c) Ильдар Насибуллаев. Все права защищены. «Математика, доступная для всех» является частью «Научно-образовательного портала».
Перепечатка материалов возможна в объеме не более 5 страниц с указанием гипертекстовой ссылки на источник http://math.originweb.info/ и автора статьи.
Время создания страницы 0.0013 сек.