Главная • О сайте • О математиках • О математикеФилдсовская премияФорум
Школьникам: Занимательная математика • Логические задачи
Студентам: Высшая алгебраВекторная алгебраАналитическая геометрияЧисленные методы
 

15. Воздерживайтесь от обозначений

Все сказанное об употреблении слов с соответствующими изменениями и оговорками применимо к еще более мелкой единице математического сочинения — к математическим символам. Лучшее обозначение — отсутствие обозначений. Где только возможно, избегайте громоздкого алфавитного аппарата. Хорошо готовить письменное математическое сообщение, представляя себе, что оно — устное. Вообразите, будто бы рассказываете все другу на какой-нибудь долгой лесной прогулке и у вас нет бумаги. Прибегайте к обозначениям только тогда, когда это необходимо.

Вот следствие из принципа «чем меньше обозначений, тем лучше их система»: не вводите ненужных букв, точно так же, как ненужных предложений. Пример: «На компактном пространстве всякая вещественнозначная непрерывная функция f ограничена». Зачем здесь f? Разве утверждение от этого становится яснее? Другой пример: «Если 0 £ lim an1/n = r < 1, то lim an = 0». Зачем тут r? Ответ одинаков в обоих случаях (незачем), но причины присутствия лишних букв могут быть различны. В первом случае f может появиться в результате дурной привычки; во втором случае r, возможно, подготавливает доказательство. От дурной привычки можно отвыкнуть. С другим излишеством труднее, потому что здесь автор должен поработать. Без r в формулировке доказательство станет на полстрочки длиннее; его нужно будет начать как-нибудь так: «Положим r = lim an1/n». Повторение (символа lim an1/n) в этом случае целесообразно: и формулировка и доказательство читаются так легче и становятся естественнее.

Эффективная формулировка принципа «не используйте ненужных букв» такова: «Не используйте ни одну букву однократно». Логики сказали бы это так: «Не оставляйте свободных переменных». В приведенном выше примере о непрерывных функциях символ f является свободной переменной. Лучший способ исключить это f — опустить его. Иногда предпочтительнее превратить f из свободной переменной в связанную. Большинство математиков сделало бы это так: «Пусть f — вещественнозначная непрерывная функция на компактном пространстве; тогда f ограничена». Некоторые логики станут, вероятно, настаивать на том, что f — по-прежнему свободная переменная в новой фразе (дважды свободная) и, с технической точки зрения, они будут правы. Чтобы сделать f связанной переменной, необходимо в каком-нибудь грамматически подходящем месте вставить оборот «для всех f», но в математике общепринято молчаливое соглашение, по которому всякой фразе предшествуют все кванторы общности, нужные для обращения всех свободных переменных в связанные.

Правило «никогда не оставлять в предложении свободные переменные», как и многие другие правила, сформулированные мной, иногда лучше нарушать, чем соблюдать. В конце концов, фраза — это условная единица изложения и если вам хочется оставить висеть в ней свободную переменную f, чтобы позднее, скажем, в этом же абзаце, этой f воспользоваться, то не думаю, что вас обязательно нужно гнать из авторского полка. Тем не менее, это — здоровый принцип, он гибок, но бить его вдребезги не следует.

Существуют и другие логические тонкости, способные остановить, или, в лучшем случае, задержать читателя, если с ними небрежно обращаться. Предположим, например, что в каком-то пункте вы написали

 1 
(*)ò  | f (x)| 2 dx < ¥
 0 

как некоторую, скажем, теорему о фиксированной функции f. Если позже вы столкнетесь с другой функцией g, которая тоже обладает этим свойством, то воспротивьтесь желанию сказать: «g также удовлетворяет (*)». Ведь это — бессмыслица с точки зрения и логики и обозначений. Вместо этого скажите «условие (*) остается верным, если заменить f на g» или, что еще лучше, назовите как-нибудь свойство (*) (в данном случае общепринятое название уже есть) и говорите так: «g тоже принадлежит пространству L²(0,1)».

Что можно сказать о выражениях типа «неравенство (*)», «уравнение (7)» или «формула (iii)»? Следует ли отмечать либо нумеровать все, что вынесено между строк? Мой ответ: нет. Причина: бесполезные ярлычки не нужны так же, как излишние предпосылки или никчемные обозначения. Небольшая часть внимания отвлекается на этот значок и уголком мозга читатель станет думать, к чему бы это. Если номер и вправду нужен, то внимание читателя будет незаметно подготовлено к будущей ссылке на эту же идею, но если ни к чему, то внимание и ожидание пропали впустую.

Итак, пользоваться ярлычками следует скупо, но не впадайте в крайность. Я не советую поступать так, как однажды поступил Диксон [2]. На стр. 89 он говорит: «Затем... мы получаем (1)» — а ведь на стр. 89 начинается новая глава и там вообще нет ни одной выделенной формулы, тем более с номером (1). Оказывается, ссылка (1) находится на стр. 90, на обороте, а мне бы и в голову не пришло искать ее там. Минут пять я был в шоке после этой шутки; когда же, наконец, я увидел свет, то почувствовал себя околпаченным и замороченным, и уже никогда не простил этого Диксону.

Громоздкие обозначения часто возникают при проведении индукции. Порой это неизбежно. Однако чаще достаточно объяснить переход от 1 к 2 и заключить воздушным «и так далее». Это не проигрывает в строгости подробным вычислениям, зато гораздо понятнее и убедительнее. Точно так же какое-нибудь общее утверждение об (n×n)-матрицах часто лучше всего доказывается не подробным выписыванием всевозможных символов aij с многоточиями, расположенными горизонтально, вертикально и по диагонали, а рассмотрением типичного частного случая (скажем 3×3).

Во всех моих рассуждениях о вреде обозначений есть своя логика. Дело в том, что для глупой вычислительной машины существует лишь одно строгое понятие математического доказательства. Для человеческого же существа, одаренного геометрической интуицией, ежедневно растущим опытом, нетерпением и неспособностью сосредоточиться на надоедливых деталях, это не годится. Еще одним примером тому может служить любое доказательство, состоящее из цепи выражений, соединенных знаками равенства. Такое доказательство легко написать. Автор начинает с первого равенства, совершает естественную подстановку, чтобы получить второе, группирует, переставляет, вносит и тут же вдохновенно сокращает множители и так продолжает до тех пор, пока не получит последнее равенство. Это — опять-таки разновидность кодирования, и читателю приходится одновременно расшифровывать и учиться по ходу дела. Такое удвоение работы бессмысленно. Если автор потратит лишние десять минут и напишет абзац тщательно обдуманных слов, он сбережет полчаса времени каждого из читателей и избавит их от лишних недоумении. Такой абзац должен представлять собой руководство к действиям, заменив бесполезный шифр, который лишь сообщает результаты действий и оставляет читателю гадать, как они получились. Руководство должно быть примерно таким: «Для доказательства подставим p вместо q, затем сгруппируем члены, переставим множители и, наконец, умножим и разделим на множитель r».

Известный прием плохого обучения — начинать доказательство со слов: «Для данного e положим d равным (e/(3M² + 2))½». Это — восходящий к традициям классического анализа способ писать доказательство от конца к началу. Его преимущество в том, что его легко проверить машине (но трудно понять человеку). Еще одно сомнительное преимущество этого же способа состоит в том, что в самом конце нечто оказывается меньше e, а не, скажем, (e(3M² + 7)/24)½. Как облегчить в данном случае жизнь читателю, очевидно: напишите доказательство от начала к концу. Начните, как всегда начинают авторы, фиксировав нечто меньшее, чем e, а потом делайте все, что нужно делать — когда нужно, умножайте на ЗM² + 7, потом — делите на 24 и т.д. и т.д. — пока не выйдет то, что выйдет. Ни одно из расположений материала не отличается изяществом, но второй способ по крайней мере легче схватывается и запоминается.



2007 (c) Ильдар Насибуллаев. Все права защищены. «Математика, доступная для всех» является частью «Научно-образовательного портала».
Перепечатка материалов возможна в объеме не более 5 страниц с указанием гипертекстовой ссылки на источник http://math.originweb.info/ и автора статьи.
Время создания страницы 0.0013 сек.