Школьникам: Занимательная математика • Логические задачи
Студентам: Высшая алгебра • Векторная алгебра • Аналитическая геометрия • Численные методы
10. Долой все тривиальное и несущественное
Бывает так, что утверждение, очевидное настолько, что об этом и говорить не стоит, формулируется в плохой фразе, которая задерживает внимание, запутывает и смущает. Я имею в виду что-нибудь такое: «Пусть
Отвлекающие и ненужные предположения служат причиной лишней траты читательского времени; почти столько же времени отнимает автор, не завоевавший доверия читателя явным упоминанием тривиальных случаев, или, если нужно, исключением их. Всякое комплексное число является произведением некоторого неотрицательного числа и некоторого числа с модулем 1. Это верно, но читатель будет себя чувствовать неуверенно, если сразу после сказанного (быть может, ему напоминали это по какому-нибудь поводу, перед введением очередного обобщения) ему не сообщили ничего о сомнительном поведении нуля (тривиальный случай). Дело не в том, что отказ от отдельного разбора тривиальных случаев может иногда составлять математическую ошибку; я не говорю здесь: «Не делайте ошибок». Дело в том, что отстаивание формально правильных, но недостаточно подробных объяснений («Утверждение верно в приведенной формулировке — чего вы еще хотите?») приводит к искаженному, плохому изложению, плохому в психологическом отношении. Оно может быть плохим и с точки зрения математики. Если, например, автор собирается обсуждать теорему о том, что, при соответствующих условиях, каждое линейное преобразование является произведением растяжений и вращения, но обходит молчанием случай нуля на одномерном пространстве, то у читателя складывается неверное представление о поведении вырожденных линейных преобразований в общем случае.
Здесь, пожалуй, уместнее всего сказать несколько слов о формулировках теорем: именно в них, более, чем где бы то ни было, необходимо избегать не относящихся к делу деталей.
Первый вопрос по этому поводу: когда формулировать теорему? Мой ответ: сразу. Избегайте праздных бесед бог весть о чем, в конце которых внезапно объявляется: «Итак, мы доказали, что...». Читатель будет гораздо внимательнее к доказательству, когда он знает, чтó вы доказываете; ему будет яснее, где используются предпосылки, если он знает их. (Праздный подход часто приводит к теоремам, повисающим в воздухе, что, по-моему, безобразно. Я имею в виду такие пассажи: «Итак, мы доказали
Т е о р е м у 2. …».
Такой перепад разрубает фразу; после того как читатель соберется с мыслями и сообразит, какую шутку с ним сыграли, этот прием произведет нежелательное отделение утверждения теоремы от ее формулировки.)
Я не хочу сказать этим, что теорема должна появляться без вводных замечаний, предварительных определений и вспомогательных мотивировок. Все это идет сначала; потом — формулировка, и, наконец, доказательство. Формулировка теоремы должна состоять, по возможности, из одной фразы: простой импликации, или, если некоторые общие предпосылки были сформулированы заранее и остаются в силе, — простого утверждения. Разговоры вроде: «Без нарушения общности мы можем предположить...» или «Более того, из теоремы 1 следует...» оставляйте за пределами формулировки.
В идеале утверждение теоремы — это не просто одна фраза, а фраза короткая. Теоремы, формулировки которых занимают почти всю страницу (или еще больше!), трудно воспринимать, труднее, чем следует. Они показывают, что автор не продумал материал, и не организовал его. Список из восьми предпосылок (даже если они аккуратно сформулированы) и список из шести утверждений — это не теорема: это — плохо изложенная теория. Все ли предпосылки нужны для каждого утверждения? Если ответ отрицателен, то очевидно, что формулировка плоха; если же ответ положителен, то, вероятно, предпосылки описывают некое общее понятие, которое заслуживает быть выделенным, специально названным и изученным.
Перепечатка материалов возможна в объеме не более 5 страниц с указанием гипертекстовой ссылки на источник http://math.originweb.info/ и автора статьи.
Время создания страницы 0.0014 сек.