Главная • О сайте • О математиках • О математикеФилдсовская премияФорум
Школьникам: Занимательная математика • Логические задачи
Студентам: Высшая алгебраВекторная алгебраАналитическая геометрияЧисленные методы
 

В.И.Арнольд. Математический тривиум II (часть 3)

Ниже приведены задачи экзаменов 1992 г. по дифференциальным уравнения на механико-математическом факультете МГУ.

Экзамен по линейной теории (Н.Х.Розов, январь 1992 г.; 3 часа)

1. 

Рассмотрим линейное уравнение
(1)
 (at + a) d3y

dt3

 + pa d2y

dt2

 – (a – 1)t2 × tg t × y = ln e + t

et

с дополнительными условиями
(2) y(a) = 1,   y'(a) = A,   y''(a) = a;
здесь a, a, A – действительные параметры.

a) (2 балла) Укажите все значения параметров a, a, A, при которых теорема существования и единственности гарантирует однозначную разрешимость задачи Коши для дифференциального уравнения 3-го порядка (1) с начальными условиями (2).

b) (1 балл) Какова область определения непродолжаемого решения начальной задачи (1)-(2) в случае a = –1, a = –2, A = –3?

c) (1 балл) Представьте начальную задачу (1)-(2) в форме задачи Коши для нормальной линейной системы дифференциальных уравнений.

2. 

Обозначим через (3) линейное однородное уравнение, соответствующее неоднородному уравнению (1) при значении a = –1. Рассмотрим для этого уравнения (3) три задачи Коши соответственно с начальными условиями:
(4)y(1) = 2,   y'(1) = 0,   y''(1) = 0;
(5)y(1) = –1,   y'(1) = 1,   y''(1) = –1;
(6)y(1) = 0,   y'(1) = 0,   y''(1) = –2.
Пусть j1(t), j2(t), j3(t), t Î I – непродолжаемые решения этих задач.

a) (1 балл) Укажите явно интервал I и докажите, что { j1(t), j2(t), j3(t) } – фундаментальная система решений уравнения (3) на I.

b) (1 балл) Получите выражение для определителя Вронского решений j1(t), j2(t), j3(t), справедливое на интервале I.

c) (2 балла) Запишите решение задачи Коши для уравнения (3) с начальными условиями y(1) = y0,   y'(1) = y1,   y''(1) = y2 через функции j1(t), j2(t), j3(t).

3. 

(3 балла) Имеется ли во множестве всех действительных решений уравнения
 y''' + y = a cos t,   a = const > 0
периодическая функция?

4. 

(5 баллов) Вычислите основную матрицу etA для линейной однородной системы x' = Ax, (x Î R3) с постоянной матрицей
A = ( –2  
1  
3  
1  
–2  
–3  
–2
2
5
) .

5. 

(4 балла) Пусть K(t,t) – матрица Коши (фундаментальная матрица, нормированная в точке t) для линейной однородной системы x' = A(t)x, (x Î Rn), где матрица A(t) непрерывна на R. Выразите производную K(t,t)/¶t через матрицы A и K.



Экзамен по нелинейным дифференциальным уравнениям (Н.Х.Розов, июнь 1992 г.)

1. 

(3 балла) Известно, что функция u(t) Î C([0,¥]) удовлетворяет двойному неравенству
0 £ u(t) £ 1
p
+ t
ò
0
exp(–pt) u2(t) dt
при всех t Î [0,¥). Укажите оценку сверху для величины sup[0,¥] u(t).

2. 

Может ли уравнение 3-го порядка x''' = f(t, x, x', x'') с непрерывно дифференцируемой правой частью f(t, x, u, v) иметь обе функции
x1 = 3 + sin t – 2cos t,    t Î R,
x2 = 1/(1 – t),–1 < t < ½,
среди своих решений? Ответ обоснуйте.

3. 

При каких (действительных) значениях параметра a тривиальное решение системы дифференциальных уравнений
{x' = ax + y + (a + 1)x2,
y' = x + ay
является

a) (1 балл) асимптотически устойчивым?

b) (2 балла) устойчивым по Ляпунову, но не асимптотически устойчивым?

c) (1 балл) неустойчивым?

4. 

Рассматривается фазовый портрет урaвнения x'' + 2dx'x = 0 на фазовой плоскости (x, y = x').

a) (1 балл) Определите тип фазового портрета этого уравнения при каждом (действительном) значении параметра d.

b) (2 балла) Нарисуйте фазовые портреты указанного уравнения при d = –1 и при d = 1.

c) (1 балл) Для исследуемого уравнения при d = 0 найдите положение равновесия на фазовой плоскости и выясните, будет ли оно асимптотически устойчивым, устойчивым по Ляпунову или неустойчивым (ответ обоснуйте). Сколько прямолинейных траекторий имеется в этом случае у фазового портрета?

5. 

a) (1 балл) Сформулируйте теорему о дифференцируемости решений системы дифференциальных уравнений по параметру.
b) (4 балла) Вычислите производную от решения x = j(t, l) задачи Коши
x'' + x = l sin t + lx2,   x(0) = 0,   x'(0) = 0
по параметру l при значении l = 0.



Экзамен по дифференциальным уравнениям (А.Ф.Филиппов, июнь 1992 г.)

1. 

При каких постоянных a и b все решения системы
{x' = 2y – 4x + a,
y' = 2xy + b
ограничены при t > 0 ?

2. 

a) Дать определение устойчивости по Ляпунову.
b) Для системы
{x' = xy,
y' = 2xy + 6sin2 t
найти решение с периодом p.
c) Устойчиво ли это решение?

3. 

Для уравнения x'' + 4x – 6x2 = 0
a) найти траекторию на фазовой плоскости, проходящую через точку (1,0);
b) найти решение уравнения с начальными условиями x(0) = 1, x'(0) = 0.

4. 

Найти производную по параметру m при m = 0 от решения задачи
 y' = mx + 1
2y
,  y(1) = 1 – 2m,   x > 0.

5. 

a) Сформулировать теорему о существовании решения задачи Коши для квазилинейного уравнения с частными производными.
b) Решить задачу Коши
 xy z

x

 + xz z

y

 = yz,   линия L:   x = 1,   z = 1 + y2.



2007 (c) Ильдар Насибуллаев. Все права защищены. «Математика, доступная для всех» является частью «Научно-образовательного портала».
Перепечатка материалов возможна в объеме не более 5 страниц с указанием гипертекстовой ссылки на источник http://math.originweb.info/ и автора статьи.
Время создания страницы 0.0015 сек.