Главная • О сайте • О математиках • О математикеФилдсовская премияФорум
Школьникам: Занимательная математика • Логические задачи
Студентам: Высшая алгебраВекторная алгебраАналитическая геометрияЧисленные методы
 

В.И.Арнольд. Математический тривиум II (часть 2)

Экзамен по дифференциальным уравнения,
механико-математический факультет МГУ, 1991 г.

Первый день

 

Один из 6 вариантов.

1. 

Найти образ вектора (1,0), приложенного в точке (p,0), под действием преобразования за время t = 1 фазового потока системы x' = y,   y' = sin x.

2. 

В каких координатах разделяются переменные в уравнении
dy
dx
= xy2 + x3y3 ?

3. 

Имеет ли задача Коши
 y  u

x

 + (x3x u

y

 = y2,   u(0, y) = 0,
решение в окрестности точки (0, y0) и единственно ли оно?

4. 

Устойчиво ли по Ляпунову решение системы
x' = yz,    y' = –xz,   z' = 0.
с начальным условием (x0, y0, z0) ?

Второй день

 

Дана система (6 вариантов):
{ x' = y,
y' = –x2.
{ x' = y3,
y' = –x.
{ x' = y,
y' = x4.
{ x' = –y2,
y' = x2.
{ x' = y4,
y' = –x.
{ x' = y2,
y' = x2.

1. 

Найти положения равновесия и исследовать их устойчивость.

2. 

Все ли решения системы продолжаются неограниченно?

3. 

Сколько ненулевых решений, для которых y(0) = x(1) = 0, имеет система?

4. 

Найти производную решения с начальным условием x(0) = y(0) = a, по a при a = 0.

Третий день

 

Дана система (6 вариантов):
{ x' = x2y,
y' = –xy2.
{ x' = – x2y2,
y' = xy3.
{ x' = – x2y3,
y' = xy4.
{ x' = – xy2,
y' = x2y.
{ x' = xy3,
y' = – x2y2.
{ x' = – xy4,
y' = x2y3.

1. 

и 2. – как в предыдущий день.

3. 

Найти диффеоморфизм плоскости, выпрямляющий поле направлений фазовых кривых в окрестности точки (1,1).

4. 

Найти все непрерывные на всей плоскости первые интегралы, совпадающие с y на оси y.

Четвёртый день

 

Дана система (6 вариантов):
z' = i z2, z' = z2, z' = i z2 z, z' = z z2, z' = i z z2, z' = i z2.

1. 

– как в предыдущие дни.

2. 

Найти все начальные условия, для которые решения продолжаются неограниченно вперёд.

3. 

Найти образ вектора (0,1), приложенного в точке 0, под действием преобразования фазового потока за время 1.

4. 

Найти все первые интегралы, непрерывные в окрестности точки z = 1 и равные 1 на вещественной оси.

Пятый день

 

Рассматривается задача (один из 6 вариантов):
 x u

x

 – (1 + x4 + y2) u

y

 = 2u,   u(0, y) = 0.

1. 

Имеет ли задача определённое на всей плоскости неограниченное решение?

2. 

Ограничена ли величина u на характеристиках?

3. 

Все ли характеристики пересекают поверхность y = x + u2?

4. 

Имеет ли уравнение характеристик первый интеграл, производная которого по u в начале координат равна 1? Найти производную этой производной по u вдоль характеристического вектора.

Шестой день

 

Дано уравнение (6 вариантов):
x'' + x = sh3x.
x'' + sin x = x3.
x'' + x = 2x3.
  x'' + x = sh3x/2.
x'' + sin x = x3/2.
x'' + x = x3/2.

1. 

Продолжается ли решение с начальным условием x(0) = 1, x'(0) = 0 на всю ось t?

2. 

Ограничена ли третья производная по a при a = 0 решения с начальным условием x(0) = a, x'(0) = 0?

3. 

Вычислить значение этой производной при t = 2p.

4. 

Вычислить десятую производную решения с начальным условием x(0) = a, x'(0) = 0 по a при a = 0.

Седьмой день

 

Дано уравнение (6 вариантов):
x' = x2 – sin2t.
x' = sin2tx2.
x' = sh2x – sin2t.
  x' = x2 – cos2t.
x' = cos2tx2.
x' = sh2x – cos2t.

1. 

Найти третью производную решения с начальным условием x(0) = 0 в нуле.

2. 

Продолжается ли это уравнение на всю ось t?

3. 

Имеет ли уравнение неограниченные решения?

4. 

Найти число асимптотически устойчивых периодических решений уравнения.



Ниже приведены экзаменационные задачи для студентов первого и третьего курсов различных европейский университетов:



2007 (c) Ильдар Насибуллаев. Все права защищены. «Математика, доступная для всех» является частью «Научно-образовательного портала».
Перепечатка материалов возможна в объеме не более 5 страниц с указанием гипертекстовой ссылки на источник http://math.originweb.info/ и автора статьи.
Время создания страницы 0.0010 сек.