В.И.Арнольд. Математический тривиум II (часть 2)

Первый день

Один из 6 вариантов.

Найти образ вектора (1,0), приложенного в точке (p,0), под действием преобразования за время t = 1 фазового потока системы x' = y,   y' = sin x.

В каких координатах разделяются переменные в уравнении

dy dx

= xy2 + x3y3 ?

Имеет ли задача Коши

y

¶u ¶x

+ (x3 – x)

¶u ¶y

= y2,

u(0, y) = 0,

решение в окрестности точки (0, y₀) и единственно ли оно?

Устойчиво ли по Ляпунову решение системы

x' = yz,

y' = –xz,

z' = 0.

с начальным условием (x₀, y₀, z₀) ?

Второй день

Дана система (6 вариантов):

{

x' = y, y' = –x2.

{

x' = y3, y' = –x.

{

x' = y, y' = x4.

{

x' = –y2, y' = x2.

{

x' = y4, y' = –x.

{

x' = y2, y' = x2.

Найти положения равновесия и исследовать их устойчивость.

Все ли решения системы продолжаются неограниченно?

Сколько ненулевых решений, для которых y(0) = x(1) = 0, имеет система?

Найти производную решения с начальным условием x(0) = y(0) = a, по a при a = 0.

Третий день

Дана система (6 вариантов):

{

x' = x2y, y' = –xy2.

{

x' = – x2y2, y' = xy3.

{

x' = – x2y3, y' = xy4.

{

x' = – xy2, y' = x2y.

{

x' = xy3, y' = – x2y2.

{

x' = – xy4, y' = x2y3.

и 2. – как в предыдущий день.

Найти диффеоморфизм плоскости, выпрямляющий поле направлений фазовых кривых в окрестности точки (1,1).

Найти все непрерывные на всей плоскости первые интегралы, совпадающие с y на оси y.

Четвёртый день

Дана система (6 вариантов):

z' = i z2

,

z' = z2

,

z' = i z2 z

,

z' = z z2

,

z' = i z z2

,

z' = i z2

.

– как в предыдущие дни.

Найти все начальные условия, для которые решения продолжаются неограниченно вперёд.

Найти образ вектора (0,1), приложенного в точке 0, под действием преобразования фазового потока за время 1.

Найти все первые интегралы, непрерывные в окрестности точки z = 1 и равные 1 на вещественной оси.

Пятый день

Рассматривается задача (один из 6 вариантов):

x

¶u ¶x

– (1 + x4 + y2)

¶u ¶y

= 2u,

u(0, y) = 0.

Имеет ли задача определённое на всей плоскости неограниченное решение?

Ограничена ли величина u на характеристиках?

Все ли характеристики пересекают поверхность y = x + u²?

Имеет ли уравнение характеристик первый интеграл, производная которого по u в начале координат равна 1? Найти производную этой производной по u вдоль характеристического вектора.

Шестой день

Дано уравнение (6 вариантов):

x'' + x = sh3x. x'' + sin x = x3. x'' + x = 2x3.

x'' + x = sh3x/2. x'' + sin x = x3/2. x'' + x = x3/2.

Продолжается ли решение с начальным условием x(0) = 1, x'(0) = 0 на всю ось t?

Ограничена ли третья производная по a при a = 0 решения с начальным условием x(0) = a, x'(0) = 0?

Вычислить значение этой производной при t = 2p.

Вычислить десятую производную решения с начальным условием x(0) = a, x'(0) = 0 по a при a = 0.

Седьмой день

Дано уравнение (6 вариантов):

x' = x2 – sin2t. x' = sin2t – x2. x' = sh2x – sin2t.

x' = x2 – cos2t. x' = cos2t – x2. x' = sh2x – cos2t.

Найти третью производную решения с начальным условием x(0) = 0 в нуле.

Продолжается ли это уравнение на всю ось t?

Имеет ли уравнение неограниченные решения?

Найти число асимптотически устойчивых периодических решений уравнения.