Главная • О сайте • О математиках • О математикеФилдсовская премияФорум
Школьникам: Занимательная математика • Логические задачи
Студентам: Высшая алгебраВекторная алгебраАналитическая геометрияЧисленные методы
 

В.И. Арнольд. Математический тривиум (часть 4)

51. 

Вычислить интеграл
+ ¥
ò
¥
e i k x 1 – ex

1 + ex

dx.

52. 

Вычислить первый член асимптотики при k ® ¥ интеграла
+ ¥
ò
¥
e i k x

Ö1 + x2n

dx.

53. 

Исследовать особые точки дифференциальной формы dt = dx/y на компактной римановой поверхности y2/2 + U (x) = E, где U – многочлен, а E – не критическое значение.

54. 

x'' = 3xx3 – 1. В которой из ям больше период колебаний (в более мелкой или более глубокой) при равных значениях полной энергии?

55. 

Исследовать топологически риманову поверхность функции w = arctg z.

56. 

Сколько ручек имеет риманова поверхность функции w = Ö1 + zn.

57. 

Найти размерность пространства решений задачи
u
z
 = d(zi) при Im z ³ 0,   Im u(z)|Im z = 0 = 0,   u|z ® ¥ ® 0.

58. 

Найти размерность пространства решений задачи
u
z
 = ad(zi) + bd(z + i) при |z| £ 2,   Im u(z)||z| = 2 = 0.

59. 

Исследовать существование и единственность решения задачи
y u

x

 = x u

y

, u|x = 1 = cos y
в окрестности точки (1, y0).

60. 

Существует ли и единственно ли решение задачи Коши
x(x2 + y2 u

x

 + y3  u

y

 = 0,   u|y = 0 = 1
в окрестности точки (x0, 0) оси x?

61. 

При каком наибольшем t решение задачи
u

t

 + u u

x

 = sin x,   u|t = 0 = 0
продолжается на интервал [0, t)?

62. 

Найти все решения уравнения
y u

x

 – sin x u

y

 = u2
в окрестности точки (0,0).

63. 

Существует ли решение задачи Коши
y u

x

 + sin x u

y

 = y,   u|x = 0 = y4
на всей плоскости (x, y)? Единственно ли оно?

64. 

Имеет ли задача Коши u½y = x² = 1, (Ñu)2 = 1 гладкое решение в области y ³ x2? В области y £ x2?

65. 

Найти среднее значение функции ln r   на окружности (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (функции 1/r   на сфере).

66. 

Решить задачу Дирихле
Du = 0 при   x2 + y2 < 1;
u = 1 при   x2 + y2 = 1,   y > 0;
u = –1 при   x2 + y2 = 1,   y < 0.

67. 

Какова размерность пространства непрерывных при x2 + y2 ³ 1 решений задачи
Du = 0   при   x2 + y2 > 1;   u

n

= 0   при   x2 + y2 = 1?

68. 

Найти
inf  òò ( u

x

) 2  +  ( u

y

) 2   dxdy
 x² + y² £ 1
по C¥-функциям u, равным 0 в 0 и 1 при x2 + y2 = 1.

69. 

Доказать, что телесный угол, опирающийся на заданный замкнутый контур, – гармоническая вне контура функция вершины угла.

70. 

Вычислить среднее значение телесного угла, под которым виден круг x2 + y2 £ 1, лежащий в плоскости z = 0, из точек сферы x2 + y2 + (z – 2)2 = 1.

71. 

Вычислить плотность заряда на проводящей границе полости x2 + y2 + z2 = 1, в которую помещен заряд q = 1 на расстоянии r от центра.

72. 

Вычислить в первом приближении по e влияние сжатия Земли (e » 1/300) на гравитационное поле Земли на расстоянии Луны (считая Землю однородной).

73. 

Найти (в первом приближении по e) влияние несовершенства почти сферического конденсатора R = 1 + ej(j, q) на его емкость.

74. 

Нарисовать график u(x,1), если 0 £ x £ 1,
u

t

= 2u

x2

, u|t = 0 = x2,   u|x² = x = x2.

75. 

Вследствие годовых колебаний температуры земля в городе N промерзает на глубину 2 м. На какую глубину она промерзла бы вследствие суточных колебаний такой же амплитуды?



2007 (c) Ильдар Насибуллаев. Все права защищены. «Математика, доступная для всех» является частью «Научно-образовательного портала».
Перепечатка материалов возможна в объеме не более 5 страниц с указанием гипертекстовой ссылки на источник http://math.originweb.info/ и автора статьи.
Время создания страницы 0.0014 сек.