В.И. Арнольд. Математический тривиум (часть 4)

Вычислить интеграл

+ ¥ ò – ¥

e i k x

1 – ex 1 + ex

dx.

Вычислить первый член асимптотики при k ® ¥ интеграла

+ ¥ ò – ¥

e i k x Ö1 + x2n

dx.

Исследовать особые точки дифференциальной формы dt = dx/y на компактной римановой поверхности y²/2 + U (x) = E, где U – многочлен, а E – не критическое значение.

x'' = 3x – x³ – 1. В которой из ям больше период колебаний (в более мелкой или более глубокой) при равных значениях полной энергии?

Исследовать топологически риманову поверхность функции w = arctg z.

Сколько ручек имеет риманова поверхность функции w = Ö1 + zⁿ.

Найти размерность пространства решений задачи

¶u ¶z

= d(z – i) при Im z ³ 0,

Im u(z)|Im z = 0 = 0,

u|z ® ¥ ® 0.

Найти размерность пространства решений задачи

¶u ¶z

= ad(z – i) + bd(z + i) при |z| £ 2,

Im u(z)||z| = 2 = 0.

Исследовать существование и единственность решения задачи

y

¶u ¶x

= x

¶u ¶y

,

u|x = 1 = cos y

в окрестности точки (1, y₀).

Существует ли и единственно ли решение задачи Коши

x(x2 + y2)

¶u ¶x

+ y3

¶u ¶y

= 0,

u|y = 0 = 1

в окрестности точки (x₀, 0) оси x?

При каком наибольшем t решение задачи

¶u ¶t

+ u

¶u ¶x

= sin x,

u|t = 0 = 0

продолжается на интервал [0, t)?

Найти все решения уравнения

y

¶u ¶x

– sin x

¶u ¶y

= u2

в окрестности точки (0,0).

Существует ли решение задачи Коши

y

¶u ¶x

+ sin x

¶u ¶y

= y,

u|x = 0 = y4

на всей плоскости (x, y)? Единственно ли оно?

Имеет ли задача Коши u_{½y = x²} = 1, (Ñu)² = 1 гладкое решение в области y ³ x²? В области y £ x²?

Найти среднее значение функции ln r   на окружности (x – a)² + (y – b)² = R² (функции 1/r   на сфере).

Решить задачу Дирихле

Du = 0		при   x2 + y2 < 1;
u = 1		при   x2 + y2 = 1,   y > 0;
u = –1		при   x2 + y2 = 1,   y < 0.

Какова размерность пространства непрерывных при x² + y² ³ 1 решений задачи

Du = 0   при   x2 + y2 > 1;

¶u ¶n

= 0   при   x2 + y2 = 1?

Найти

inf	òò	(	¶u ¶x	)	2	+	(	¶u ¶y	)	2	dxdy
	x² + y² £ 1

по C^¥-функциям u, равным 0 в 0 и 1 при x² + y² = 1.

Доказать, что телесный угол, опирающийся на заданный замкнутый контур, – гармоническая вне контура функция вершины угла.

Вычислить среднее значение телесного угла, под которым виден круг x² + y² £ 1, лежащий в плоскости z = 0, из точек сферы x² + y² + (z – 2)² = 1.

Вычислить плотность заряда на проводящей границе полости x² + y² + z² = 1, в которую помещен заряд q = 1 на расстоянии r от центра.

Вычислить в первом приближении по e влияние сжатия Земли (e » 1/300) на гравитационное поле Земли на расстоянии Луны (считая Землю однородной).

Найти (в первом приближении по e) влияние несовершенства почти сферического конденсатора R = 1 + ej(j, q) на его емкость.

Нарисовать график u(x,1), если 0 £ x £ 1,

¶u ¶t

=

¶2u ¶x2

,

u|t = 0 = x2,

u|x² = x = x2.

Вследствие годовых колебаний температуры земля в городе N промерзает на глубину 2 м. На какую глубину она промерзла бы вследствие суточных колебаний такой же амплитуды?