В.И. Арнольд. Математический тривиум (часть 3)

Нарисовать образы решений уравнения x'' = – kx' – dU/dx на плоскости (x, E), где E = (x')²/2 + U (x), вблизи невырожденных критических точек потенциала U.

Нарисовать фазовый портрет и исследовать его изменение при изменении малого комплексного параметра e:

Заряд движется со скоростью 1 по плоскости под действием перепендикулярного ей сильного магнитного поля B(x, y). В какую сторону будет дрейфовать центр ларморовской окружности? Вычислить скорость этого дрейфа (в первом приближении). [Математически речь идет о кривых кривизны NB, где N ® ¥.]

Найти сумму индексов особых точек векторного поля zz ² + z⁴ + 2z ⁴, отличных от нуля.

Найти индекс особой точки 0 векторного поля с компонентами (x⁴ + y⁴ + z⁴, x³y – xy³, xyz²).

Найти индекс особой точки 0 векторного поля grad(xy + yz + zx).

Найти коэффициент зацепления фазовых траекторий уравнения малых колебаний x'' = –4x, y'' = –9y на поверхности уровня полной энергии.

Исследовать особые точки кривой y = x³ на проективной плоскости.

Нарисовать геодезические на поверхности (x² + y² – 2)² + z² = 1.

Нарисовать эвольвенты кубической параболы y = x³ (эвольвента – это геометрическое место точек r(s) + (c – s)r'(s), где s – длина вдоль кривой r(s), c – константа).

Доказать, что поверхности в евклидовом пространстве ((A – λE)^–1x, x) = 1, проходящие через точку x и соответствующие разным значениям λ (A — симметричный оператор без кратных собственных чисел) попарно ортогональны.

Вычислить интеграл от гауссовой кривизны поверхности z⁴ + (x² + y² – 1)(2x² + 3y² – 1) = 0.

Вычислить интеграл Гаусса

Ì

É

òò

(dA, dB, A – B) |A – B|3

,

где A пробегает кривую x = cos α, y = sin α, z = 0, а B — кривую x = 2cos²β, y = ½ sin β, z = sin 2β.

Перенести параллельно направленный в Ленинграде (широта 60°) на север вектор с запада на восток вдоль замкнутой параллели.

Найти геодезическую кривизну прямой y = 1 на верхней полуплоскости с метрикой Лобачевского-Пуанкаре ds² = (dx² + dy²)/y².

Пересекаются ли в одной точке медианы треугольника на плоскости Лобачевского? А высоты?

Найти числа Бетти поверхности x₁² + ... + x_k² – y₁² – ... – y_l² = 1 и множества x₁² + ... + x_k² £ 1 + y₁² + ... + y_l² в k+l-мерном линейном пространстве.

Найти числа Бетти поверхности x² + y² = 1 + z² в трехмерном проективном пространстве. То же для поверхностей z = xy, z = x², z² = x² + y².

Найти индекс самопересечения поверхности x⁴ + y⁴ = 1 в проективной плоскости CP².

Отобразить конформно внутренность единичного круга на первый квадрант.

Отобразить конформно внешность круга на внешность данного эллипса.

Отобразить конформно полуплоскость без перпендикулярного ее краю отрезка на полуплоскость.

Вычислить

Ç

È

ò |z| = 2

dz Ö1 + z10

.

Вычислить

+ ¥ ò – ¥

e i k x 1 + x²

dx.