Главная • О сайте • О математиках • О математикеФилдсовская премияФорум
Школьникам: Занимательная математика • Логические задачи
Студентам: Высшая алгебраВекторная алгебраАналитическая геометрияЧисленные методы
 

В.И. Арнольд. Математический тривиум (часть 3)

26. Исследовать поведение при t ® +¥ решений систем
{ x' = y, { x' = y,
y' = 2sin yyx, y' = 2xx3x2ey,
где e << 1.
27. 

Нарисовать образы решений уравнения x'' = – kx'dU/dx на плоскости (x, E), где E = (x')2/2 + U (x), вблизи невырожденных критических точек потенциала U.

28. 

Нарисовать фазовый портрет и исследовать его изменение при изменении малого комплексного параметра e:

z' = ez – (1 + iz |z|2 + z 4.
29. 

Заряд движется со скоростью 1 по плоскости под действием перепендикулярного ей сильного магнитного поля B(x, y). В какую сторону будет дрейфовать центр ларморовской окружности? Вычислить скорость этого дрейфа (в первом приближении). [Математически речь идет о кривых кривизны NB, где N ® ¥.]

30. 

Найти сумму индексов особых точек векторного поля zz 2 + z4 + 2z 4, отличных от нуля.

31. 

Найти индекс особой точки 0 векторного поля с компонентами (x4 + y4 + z4, x3yxy3, xyz2).

32. 

Найти индекс особой точки 0 векторного поля grad(xy + yz + zx).

33. 

Найти коэффициент зацепления фазовых траекторий уравнения малых колебаний x'' = –4x, y'' = –9y на поверхности уровня полной энергии.

34. 

Исследовать особые точки кривой y = x3 на проективной плоскости.

35. 

Нарисовать геодезические на поверхности (x2 + y2 – 2)2 + z2 = 1.

36. 

Нарисовать эвольвенты кубической параболы y = x3 (эвольвента – это геометрическое место точек r(s) + (cs)r'(s), где s – длина вдоль кривой r(s), c – константа).

37. 

Доказать, что поверхности в евклидовом пространстве ((A – λE)–1x, x) = 1, проходящие через точку x и соответствующие разным значениям λ (A — симметричный оператор без кратных собственных чисел) попарно ортогональны.

38. 

Вычислить интеграл от гауссовой кривизны поверхности z4 + (x2 + y2 – 1)(2x2 + 3y2 – 1) = 0.

39. 

Вычислить интеграл Гаусса
Ì É òò   (dA, dB, AB)

|AB|3

,
где A пробегает кривую x = cos α, y = sin α, z = 0, а B — кривую x = 2cos2β, y = ½ sin β, z = sin 2β.

40. 

Перенести параллельно направленный в Ленинграде (широта 60°) на север вектор с запада на восток вдоль замкнутой параллели.

41. 

Найти геодезическую кривизну прямой y = 1 на верхней полуплоскости с метрикой Лобачевского-Пуанкаре ds2 = (dx2 + dy2)/y2.

42. 

Пересекаются ли в одной точке медианы треугольника на плоскости Лобачевского? А высоты?

43. 

Найти числа Бетти поверхности x12 + ... + xk2y12 – ... – yl2 = 1 и множества x12 + ... + xk2 £ 1 + y12 + ... + yl2 в k+l-мерном линейном пространстве.

44. 

Найти числа Бетти поверхности x2 + y2 = 1 + z2 в трехмерном проективном пространстве. То же для поверхностей z = xy, z = x2, z2 = x2 + y2.

45. 

Найти индекс самопересечения поверхности x4 + y4 = 1 в проективной плоскости CP².

46. 

Отобразить конформно внутренность единичного круга на первый квадрант.

47. 

Отобразить конформно внешность круга на внешность данного эллипса.

48. 

Отобразить конформно полуплоскость без перпендикулярного ее краю отрезка на полуплоскость.

49. 

Вычислить
Ç È ò
|z| = 2
dz

Ö1 + z10

.

50. 

Вычислить
+ ¥
ò
¥
e i k x
1 + x²
dx.



2007 (c) Ильдар Насибуллаев. Все права защищены. «Математика, доступная для всех» является частью «Научно-образовательного портала».
Перепечатка материалов возможна в объеме не более 5 страниц с указанием гипертекстовой ссылки на источник http://math.originweb.info/ и автора статьи.
Время создания страницы 0.0027 сек.