Главная • О сайте • О математиках • О математикеФилдсовская премияФорум
Школьникам: Занимательная математика • Логические задачи
Студентам: Высшая алгебраВекторная алгебраАналитическая геометрияЧисленные методы
 

В.И. Арнольд. Математический тривиум (часть 2)

1. 

Нарисовать график производной и график интеграла функции, заданной свободно начерченным графиком.

2. Найти предел
lim  
x ® 0
 
sin tg x – tg sin x
arcsin arctg x – arctg arcsin x
.
3. 

Найти критические значения и критические точки отображения z ® z2 + 2z (нарисовать ответ).

4. 

Вычислить сотую производную функции
x2 + 1

x3x

.

5. 

Вычислить сотую производную функции
1

x2 + 3x + 2

в нуле с относительной погрешностью 10%.

6. 

Нарисовать на плоскости (xy) кривую, заданную параметрически: x = 2t – 4t3,  y = t2 – 3t4.

7. 

Сколько нормалей к эллипсу можно провести из данной точки плоскости? Исследовать область, в которой число нормалей максимально.

8. 

Сколько максимумов, минимумов и седел имеет функция x4 + y4 + z4 + u4 + v4 на поверхности x + … + v = 0, x2 + … + v2 = 1, x3 + … + v3 = C ?

9. 

Всякий ли положительный многочлен от двух вещественных переменных достигает своей нижней грани на плоскости?

10. 

Исследовать асимптотики решений  y  уравнения x5 + x2y2 = y6, стремящихся к 0 при x ® 0.

11. Исследовать сходимость интеграла
+ ¥
òò
¥
dxdy

1 + x4y4

.
12. 

Найти поток векторного поля r/r3 через поверхность (x – 1)2 + y2 + z2 = 2.

13. 

Вычислить с относительной погрешностью 5%
10
ò
1
xx dx.

14. 

Вычислить с относительной погрешностью не более 10%
+ ¥
ò
¥
(x4 + 4x + 4)–100 dx.

15. 

Вычислить с относительной погрешностью 10%
+ ¥
ò
¥
cos (100 (x4x)) dx.

16. 

Какую долю от объема пятимерного куба составляет объем вписанного в него шара? А от десятимерного?

17. 

Найти расстояние от центра тяжести однородного 100-мерного полушара радиуса 1 до центра шара с односительной погрешностью 10%.

18. 

Вычислить
 
 
ò×××ò
 å
1 £ i £ j £ n
xi xj 
e dx1dxn.

19. 

Исследовать ход лучей в плоской среде с показателем преломления n(y) = y4y2 + 1, пользуясь законом Снеллиуса n(y)sina = const, где a – угол луча с осью y.

20. 

Найти производную решения уравнения x'' = x + A(x')2 с начальным условием x(0) = 1, x'(0) = 0 по параметру A при A = 0.

21. 

Найти производную решения уравнения x'' = (x')2 + x3 с начальным условием x(0) = 1, x'(0) = A по A при A = 0.

22. 

Исследовать границу области устойчивости (max Re lj < 0) в пространстве коэффициентов уравнения x''' + ax'' + bx' + cx = 0.

23. 

Решить квазиоднородное уравнение
 dy

dx

 = x x3

y 

.

24. 

Решить квазиоднородное уравнение x'' = x5 + x2 x'.

25. 

Может ли асимптотически устойчивое положение равновесия сделаться неустойчивым по Ляпунову при линеаризации?



2007 (c) Ильдар Насибуллаев. Все права защищены. «Математика, доступная для всех» является частью «Научно-образовательного портала».
Перепечатка материалов возможна в объеме не более 5 страниц с указанием гипертекстовой ссылки на источник http://math.originweb.info/ и автора статьи.
Время создания страницы 0.0009 сек.